Calcul infinitésimal الحساب اللامتناهي في الصغر

Description

الحساب اللامتناهي في الصغر هو مفهوم رياضي مهم يُستخدم لوصف العلاقات الرياضية بين الأعداد عندما تقترب من القيم اللامتناهية. يُمكن أن يكون هذا النوع من الحساب مثيرًا ومفهومًا غامضًا في البداية، ولكنه يلعب دورًا حاسمًا في الرياضيات والعلوم.

في الحساب اللامتناهي في الصغر، نتعامل مع الأعداد التي تقترب من اللانهاية أو تتجه نحوها، وهذا يشمل الكسور مثل 1/∞ (والتي تعبر عن قيمة صفر) والحدود التي تتجه نحو معينة عندما يتجه المتغير نحو اللامتناهي.

مفهوم الحساب اللامتناهي في الصغر يستخدم في مختلف فروع الرياضيات والفيزياء والهندسة لدراسة سلوك الدوال والمتغيرات عند الاقتراب من القيم اللامتناهية. يساعد هذا النوع من الحساب على فهم الظواهر المعقدة والمتغيرة مثل الحركة والاحتمالات والمزيد.

باختصار، الحساب اللامتناهي في الصغر هو أداة رياضية قوية تُستخدم لدراسة العلاقات الرياضية عندما يتجه المتغير نحو اللامتناهي، وهو جزء أساسي من الرياضيات والعلوم الطبيعية.

للتفاضل تطبيقات متعددة، ففي الفيزياء مثلا: المعدل الزمني للتغير في إزاحة جسيم متحرك هي سرعة الجسيم والمعدل الزمني للتغير في الإزاحة هو تفاضلها بالنسبة للزمن، أما تفاضل السرعة بالنسبة للزمن فيعطي العجلة، وللتفاضل أهمية أيضًا في قوانين نيوتن فالقانون الثاني ينص على أن القوة هي المعدل الزمني للتغير في كمية التحرك (أي تفاضل كمية التحرك بالنسبة للزمن)، كذلك من تطبيقاته إيجاد معدل التفاعل لتفاعل كيميائي، وفي بحوث العمليات تحدد المشتقات أوالتفاضلات الطرق المثلى لتصميم المصانع ونقل المواد أو الخامات أو المنتجات.

تستخدم المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة. المعادلات التي تتضمن تفاضلات (مشتقات) تسمى المعادلات التفاضلية، وهي من المعادلات الأساسية والهامة في توصيف الظواهر الطبيعية. تظهر المشتقات في العديد من مجالات الرياضيات كالتحليل العقدي، والتحليل الدالي، والهندسة التفاضلية، ونظرية القياس، والجبر المجرد.

استُخدم المتناهي في الصغر في الرياضيات (بالإنجليزية: Infinitesimal)‏ للتعبير عن قيم بالغة الضآلة، بحيثُ تعبر عن تغيير دقيق جدا لحالة، مثل تغير صغير جدا في درجة الحرارة أو تغير صغير جدا في الحجم. في الاستخدام الدارج؛ تعني هذه الصفة بأن التغير صغير للغاية، ولكنه لا يساوي صِفراً.

قبل القرن التاسع عشر، لم يكن أيٌّ من المفاهيم الرياضية التي نعرفها اليوم معرفًا بطريقة دقيقة، رغمَ أن هذه المفاهيم كانت موجودة فعلاً. مؤسِّسوا علم التفاضل والتكامل؛ لَيبنيز ونيوتن وأويلر ولاغرانج وبرنولي وكثيرون غيرهم، استخدموا الأرقام الموحِلة بنفس الطريقة المعروضة هنا، ووصلوا إلى نتائجَ صحيحةٍ جوهرياً؛ رغم أنه لم يكن يوجد تعريف رياضي دقيق للرقم الموحل آنذاك (من المثير للاهتمام أنه لم يكن يوجد تعريفٌ رياضي دقيقٌ لمجموعة الأعداد الحقيقيَّة في ذلك الحين أيضًا).

نظرية الحساب التفاضلي والتكاملي (Calculus) هي فرع رياضي يتناول دراسة التغير والسرعة والتسارع، والتحليل الرياضي للأشكال والمنحنيات والمساحات والأحجام. تعتمد هذه النظرية على مفهومي الإشتقاق والتكامل، والتي تتمحور حول حساب المعدلات التغيرية للدوال، وحساب المساحات والأحجام تحت المنحنيات المختلفة. يستخدم الحساب التفاضلي والتكاملي في العديد من المجالات مثل الفيزياء، الهندسة، الإحصاء والاقتصاد. وتعد النظرية من النظريات الأساسية في الرياضيات العليا

TAKE THIS COURSE